天津市第四十二中學(xué)?張鼎言

(一)基礎(chǔ)題

復(fù)習(xí)導(dǎo)引：數(shù)列是定義在正整數(shù)集或正整數(shù)子集上的函數(shù)，函數(shù)的圖象是平面直角坐標(biāo)系上的點(diǎn)集。項(xiàng)an是n的函數(shù)，同數(shù)Sn也是n的函數(shù)，af(n)是復(fù)合函數(shù)，如下面的第2、3題。等差、等比中項(xiàng)始終是高考擬題的知識(shí)點(diǎn)，如下面的第1、5題。在數(shù)列問題中，從一般到特殊的思想方法，是重要的思路，如第3、5題。

1.若an是等差數(shù)列，首項(xiàng)a1>0,a2003+a2004>0,a2003·a2004<0,則使前n項(xiàng)和Sn>0成立的最大自然n是(?)

A、4005?B、4006

C、4007?D、4008

解：∵a2003·a2004<0

∴a2003與a2004中必有一個(gè)為負(fù)。

又a1>0只有d<0,a2003、a2004中才可能有負(fù)值,∴a2004<0

a2003+a2004=2a1+4005d=a1+a1+4005d=a1+a4006>0

∴S4006=-(a1+a4006)>0

S4007=-(a1+a4007)

=-·2a2004<0

∴選B

注：本題不同于當(dāng)Sn最大時(shí)求n的值,在審題中注意區(qū)別。

2.已知兩個(gè)等差數(shù)列an和bn的前n項(xiàng)和分別為An和Bn，且-=-，則使得-為整數(shù)的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)是(?)

A.2?B.3?C.4?D.5

解：∵an,bn為等差數(shù)列

∴可設(shè)An=(7n+45)gn,

Bn=(n+3)gn

an=An-An-1=14n+38,

bn=Bn-Bn-1=2n+2,(n2)

-=-=k,k為正整數(shù)

n=-,n為正整數(shù)，719?

K=8、9、10、11、13

∴選D

注：若{an}為等差數(shù)列，那么Sn=pn2+qn，是常數(shù)項(xiàng)為0，關(guān)于n的二次函數(shù)。

3.已知數(shù)列{an}、{bn}都是公差為1的等差數(shù)列，其首項(xiàng)分別為a1、b1，且a1+b1=5，a1,b1∈N*。設(shè)cn=-(n∈N*)，則數(shù)列{cn}的前10項(xiàng)和等于()

A.55　B.70　

C.85　D.100

解：某些數(shù)列問題經(jīng)常用一般到特殊的思考方法。

c1=-=a1+(b1-1)·1

c2=-=a1+(b2-1)·1

c3=-=a1+(b3-1)·1

c2-c1=b2-b1=1,

c3-c2=b3-b2=1

c1=a1+b1-1=4

∴{cn}為c1=4，公差為1的等差數(shù)列

∴S10=85?選C

注：-其中bn是項(xiàng)數(shù)，在數(shù)列中，項(xiàng)an是項(xiàng)數(shù)n的函數(shù)。

4.?各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn=2,S3n=14,則S4n等于

(A)80(B)30?

(C)26?(D)16?

解：Sn=a1+a2+…+an=2

S2n=Sn+an+1+an+2+…+a2n

=Sn+qn(a1+a2+…+an)

=Sn+Sngqn=2+2qn

S3n=S2n+a2n+1+a2n+2+…+a3n

=S2n+q2ngSn=2+2qn+2q2n=14

→qn=2

S4n=S3n+(a3n+1+a3n+2+…+a4n)

=S3n+q3ngS1=30?

選B

注：這里把Sn作為一個(gè)單位，以此表示S2n,S3n,S4n,這是一個(gè)“整體”的思想方法。

5.在等差數(shù)列{an}中,若a10=0則有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(n<19,n∈N)成立.類比上述性質(zhì),相應(yīng)地,在等比數(shù)列{bn}中,若b9=1則有等式____成立。

分析：用一般到特殊的思考方法。a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n不好理解,不妨假定,n=18，這時(shí)上面的等式變?yōu)?a2+a3+…+a17+a18=0，a2+a18=a3+a17=…=a9+a11=2a10=0，可以看出題目條件中給出的等式是等差中項(xiàng)的變形,這是問題的實(shí)質(zhì)。

若給出a9=0,可以引出:

a1+a17=a2+a16=a3+a15=…=a8+a10=2a9=0

那么應(yīng)有下面的等式:

a1+a2+…+an=a1+a2+…+a17-n

類比等比數(shù)列:

b9=1,b1·b17=b2·b16=…=b8·b10=b92=1。

∴b1·b2……bn=b1·b2……b17-n(n<17,n∈N)

注：靈活運(yùn)用等差、等比中項(xiàng)是數(shù)列問題中的重要內(nèi)容，下面的結(jié)論有助于這種靈活應(yīng)用。若p、q、m、n均為正整數(shù),且p+q=m+n,在等差數(shù)列中有ap+aq=am+an；在等比數(shù)列中，ap·aq=am·an?

6.?數(shù)列{an}中,a1=-，an+an+1=-，n∈N*則-(a1+a2+…+an)等于(?)

A.-?B.-

C.-?D.-?

分析：若把a(bǔ)n+an+1看成一項(xiàng),那么?{an+an+1}為等比數(shù)列。

(a1+a2)+(a2+a3)+(a3+a4)+…

=2(a1+a2+a3+a4+…)-a1

∵a1+a2=-，

-=-

∴2(a1+a2+a3+…)-a1

=-=-

-=(a1+a2+…+an)=-

選C。

注：在數(shù)列求和問題中,有時(shí)可以把幾項(xiàng)并成一項(xiàng),也有時(shí)把一項(xiàng)分拆成幾項(xiàng),這是求和中“變形”的一條重要思路.

7.已知{an}是等差數(shù)列，{bn}是公比為q的等比數(shù)列，a1=b1,a2=b2≠a1，記Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，(1)若?bk=am(m,k是大于2的正整數(shù))，求證：Sk-1=(m-1)a1；?

(2)若b3=ai(i是某一正整數(shù))，求證：q是整數(shù)，且數(shù)列{bn}中每一項(xiàng)都是數(shù)列{an}中的項(xiàng)；?

(3)是否存在這樣的正數(shù)q，使等比數(shù)列{bn}中有三項(xiàng)成等差數(shù)列？若存在，寫出一個(gè)q的值，并加以說明；若不存在，請(qǐng)說明理由；?

解：(1)∵a1=b1,a2=b2≠a1→b2≠b1→q≠1

∴Sk-1=-=-

=-=-=(m-1)a1

解：(2)b3=b1q2=a1q2=a1+(i-1)gd=a1+(i-1)(a2-a1)

=a1+(i-1)(b2-b1)=a1+(i-1)(a1q-a1)

∵a1≠0,q≠1

∴q2=1+(i-1)(q-1)

q=i-2，q是整數(shù)，?

由b1=a1，b2=a2,b3=ai→q=i-2

下面只討論n4的情況

bn=b1qn-1=a1+(k-1)d=a1+(k-1)(a2-a1)=a1+(k-1)ga1g(q-1)

化簡(jiǎn)qn-1=1+(k-1)(q-1)?

k=1+-1+1+q+q2+…qn-2

若i=1,q=-1,q+q2+…qn-2=0或-1

k=2,1;

i=2,q=0。矛盾

i3，k是正整數(shù)。

分析(3)b1=a1,b2=a2,a3=b(n)為所求

由a1、a2、a3成等差

b1、b2、b(n)也成等差

a3=a1+2d=b1+2(a2-a1)

=b1+2(b1q-b1)

=b1(2q-1)=b1qn-1

n3，n=3時(shí)，2q-1=q2→q=1與已知矛盾。

n=4?2q-1=q3?q3-q=q-1

q(q2-1)=q-1

q-1≠0，q2+q-1=0,又q>0

∴q=-

即b1,b2,b4成等差。

注：2q-1=qn其中n,q都是未知數(shù)，因?yàn)閚為正整數(shù)，所以從分析n入手。