一元線性回歸模型的置信區(qū)間與預(yù)測 多元線性回歸模型的置信區(qū)間問題包括參數(shù)估計(jì)量的置信區(qū)間和被解釋變量預(yù)測值的置信區(qū)間兩個(gè)方面，在數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中屬于區(qū)間估計(jì)問題。所謂區(qū)間估計(jì)是研究用未知參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)值（從一組樣本觀測值算得的）作為近似值的精確程度和誤差范圍，是一個(gè)必須回答的重要問題。 一、參數(shù)估計(jì)量的置信區(qū)間 在前面的課程中，我們已經(jīng)知道，線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)量 是隨機(jī)變量 的函數(shù)，即： ，所以它也是隨機(jī)變量。在多次重復(fù)抽樣中，每次的樣本觀測值不可能完全相同，所以得到的點(diǎn)估計(jì)值也不可能相同?，F(xiàn)在我們用參數(shù)估計(jì)量的一個(gè)點(diǎn)估計(jì)值近似代表參數(shù)值，那么，二者的接近程度如何？以多大的概率達(dá)到該接近程度？這就要構(gòu)造參數(shù)的一個(gè)區(qū)間，以點(diǎn)估計(jì)值為中心的一個(gè)區(qū)間（稱為置信區(qū)間），該區(qū)間以一定的概率（稱為置信水平）包含該參數(shù)。即回答 以何種置信水平位于 之中，以及如何求得a。 在變量的顯著性檢驗(yàn)中已經(jīng)知道 (2.5.1) 這就是說，如果給定置信水平 ，從t分布表中查得自由度為(n-k-1)的臨界值 ，那么t值處在 的概率是 。表示為 即 于是得到：在（ ）的置信水平下 的置信區(qū)間是 i=0,1 （2.5.3） 在某例子中，如果給定 ，查表得 從回歸計(jì)算中得到 根據(jù)（2.5.2）計(jì)算得到 的置信區(qū)間分別為 和（0.1799,0.2401） 顯然，參數(shù) 的置信區(qū)間要小。 在實(shí)際應(yīng)用中，我們當(dāng)然希望置信水平越高越好，置信區(qū)間越小越好。如何才能縮小置信區(qū)間？從（2.5.3）式中不難看出：（1）增大樣本容量n。在同樣的置信水平下，n越大，從t分布表中查得自由度為（n-k-1）的臨界值 越??；同時(shí)，增大樣本容量，在一般情況下可使估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)差 減小，因?yàn)槭街蟹帜傅脑龃笫强隙ǖ?，分子并不一定增大。?）更主要的是提高模型的擬合度，以減小殘差平方和 。設(shè)想一種極端情況，如果模型完全擬合樣本觀測值，殘差平方和為0，則置信區(qū)間也為0。（3）提高樣本觀測值的分散度。在一般情況下，樣本觀測值越分散，標(biāo)準(zhǔn)差越小。置信水平與置信區(qū)間是矛盾的。置信水平越高，在其他情況不變時(shí)，臨界值 越大，置信區(qū)間越大。如果要求縮小置信區(qū)間，在其他情況不變時(shí)，就必須降低對(duì)置信水平的要求。 二、預(yù)測值的置信區(qū)間 1、 點(diǎn)預(yù)測 計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型的一個(gè)重要應(yīng)用是經(jīng)濟(jì)預(yù)測。對(duì)于模型 ， 如果給定樣本以外的解釋變量的觀測值 ，有 因 是前述樣本點(diǎn)以外的解釋變量值，所以 和 是不相關(guān)的。引用已有的OLS的估計(jì)值，可以得到被解釋變量 的點(diǎn)預(yù)測值： (2.5.4) 但是，嚴(yán)格地說，這只是被解釋變量的預(yù)測值的估計(jì)值，而不是預(yù)測值。原因在于兩方面：一是模型中的參數(shù)估計(jì)量是不確定的，正如上面所說的；二是隨機(jī)項(xiàng)的影響。所以，我們得到的僅是預(yù)測值的一個(gè)估計(jì)值，預(yù)測值僅以某一個(gè)置信水平處于以該估計(jì)值為中心的一個(gè)區(qū)間中。于是，又是一個(gè)區(qū)間估計(jì)問題。 2、 區(qū)間預(yù)測 如果已經(jīng)知道實(shí)際的預(yù)測值 ，那么預(yù)測誤差為 顯然， 是一隨機(jī)變量，可以證明 而 因?yàn)?由原樣本的OLS估計(jì)值求得，而 與原樣本不相關(guān)，故有： ， 可以計(jì)算出來： (2.5.5) (2.5.6) 因 和 均服從正態(tài)分布，可利用它們的性質(zhì)構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量，求區(qū)間預(yù)測值。利用 構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量為： 將 用估計(jì)值 代入上式，有 這樣，可得顯著性水平 下 的置信區(qū)間為 (2.5.7) (2.5.7)式稱為 的均值區(qū)間預(yù)測。 同理，利用 構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量，有 將 用估計(jì)值 代入上式，有： 根據(jù)置信區(qū)間的原理，得顯著性水平 下 的置信區(qū)間： （2.5.8） 上式稱為 的個(gè)值區(qū)間預(yù)測，顯然，在同樣的 下，個(gè)值區(qū)間要大于均值區(qū)間。(2.5.7)和(2.5.8)也可表述為： 的均值或個(gè)值落在置信區(qū)間內(nèi)的概率為 ， 即為預(yù)測區(qū)間的置信度?；蛘哒f，當(dāng)給定解釋變量值 后，只能得到被解釋變量 或其均值 以 的置信水平處于某區(qū)間的結(jié)論。 經(jīng)常聽到這樣的說法，“如果給定解釋變量值，根據(jù)模型就可以得到被解釋變量的預(yù)測值為……值”。這種說法是不科學(xué)的，也是計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型無法達(dá)到的。如果一定要給出一個(gè)具體的預(yù)測值，那么它的置信水平則為0；如果一定要回答解釋變量以100%的置信水平處在什么區(qū)間中，那么這個(gè)區(qū)間是∞。 在實(shí)際應(yīng)用中，我們當(dāng)然也希望置信水平越高越好，置信區(qū)間越小越好，以增加預(yù)測的實(shí)用意義。如何才能縮小置信區(qū)間？從（2.5.5）和(2.5.6)式中不難看出：（1）增大樣本容量n。在同樣的置信水平下，n越大，從t分布表中查得自由度為（n-k-1）的臨界值 越??；同時(shí)，增大樣本容量，在一般情況下可使 減小，因?yàn)槭街蟹帜傅脑龃笫强隙ǖ?，分子并不一定增大。?）更主要的是提高

—— 吳嘶詠